数学特論
10(
確率論)&
確率論大意—
数理ファイナンス入門谷 口 説 男
(
九州大学大学院数理学研究院) 2012
年度後期(10/3/2012
版)
目 次
1
市場モデル1
2
投資戦略3
2.1
投資戦略. . . . 3
2.2
セルフファイナンシング. . . . 3
2.3
裁定機会. . . . 6
2.4
複製. . . . 8
3
期待値と条件付き期待値10 4
マルチンゲール16 5
同値マルチンゲール測度18 5.1
無裁定. . . . 18
5.2
価格公式. . . . 18
6
数理ファイナンスの第1
基本定理21 7
数理ファイナンスの第2
基本定理24 8 CRR(Cox-Ross-Rubinstein)
モデル26 8.1
無裁定と完備. . . . 26
8.2
ヨーロピアン・コールオプション. . . . 28
1.
市場モデルまず，いくつかの記号を導入する．
• T ∈ N :
満期時刻(T
年後，T カ月後などなど)• T = { 0, 1, . . . , T }
• N ∈ N
，Ω ={ ω
1, . . . , ω
N} (有限集合)
• F = 2
Ω= { A | A ⊂ Ω }
Def 1.1. (i)
関数P : F → [0, 1]
が確率(probability measure)
であるとは，次が成り立つ ことをいう．(a) p
α def= P( { ω
α} ) > 0, α = 1, . . . , N
，∑
N α=1p
α= 1，(b) P(A) = ∑
α:ωα∈A
p
α(ii) G ⊂ F
が加法族(field)
であるとは，(a) ∅ , Ω ∈ G
，(b)A ∈ G ⇒ A
cdef= { ω ∈ Ω | ω / ∈ A } ∈ G
，(c)A, B ∈ G ⇒ A ∪ B ∈ G
が成り立つことをいう．(iii) {∅ , Ω } = F
0⊂ F
1⊂ F
2· · · ⊂ F
T= F
を満たす加法族の増大列F = {F
t}
t∈Tをフィ ルトレーション(filtlation)
という．Rem 1.2. F
tは，投資者が時刻t
において保有できる情報量をモデル化している．Assumption
以下，確率
P
とフィルトレーションF = {F
t}
t∈Tを固定する．
Def 1.3. (i)
関数X = (X
1, . . . , X
n) : Ω → R
nをR
n-値確率変数 (random variable)
と呼 ぶ．n= 1
のときは，簡単に確率変数ともいう．(ii) R
n-値確率変数 X
t= (X
t1, . . . , X
tn) : Ω → R
n, t ∈ T
の列X = { X
t}
t∈TをR
n-値確率過
程(stochastic process)
という．(iii) R
n-値確率過程 X = { X
t= (X
t1, . . . , X
tn) }
t∈Tが適合(adapted)
であるとは，各X
ti がF
t-可測であること，すなわち，次が成り立つことをいう．
{ ω | X
ti(ω) ≤ a } ∈ F
t, t ∈ T , 1 ≤ i ≤ n, a ∈ R .
(iv) S = { (S
t0, S
t1, . . . , S
td) }
t∈Tを適合なR
d+1-値確率過程とする．さらに，
S
00(ω) = 1, S
ti(ω) > 0, t ∈ T , 0 ≤ i ≤ d, ω ∈ Ω
が成り立つと仮定する．(Ω,
F , P, T , F , S)
を市場モデル(market model)
と呼ぶ．(v) β
t= 1
S
t0 とおいて，割引率(discount factor)
という．Rem 1.4. (i) S
t0は安全な証券(国債，預金など)
の時刻t
における価格を表す．Sti, 1 ≤ i ≤ d
は危険な証券(株式など)
の時刻t
における価格を表す．(ii)
国債価格などで割り引くことで実質的な株式市場の成長率が表記できることに鑑み，S
0= { S
t0}
t∈Tを基本財(num´ eraire)
と呼ぶ．2.
投資戦略2.1.
投資戦略Def 2.1. (i) R
n-値確率過程 X = { X
t= (X
t1, . . . , X
tn) }
t∈Tが可予測(predictable)
である とは，X0= X
1であり，さらに各X
tiがF
t−1-可測であること，すなわち，次が成り立
つことをいう．{ ω | X
ti(ω) ≤ a } ∈ F
t−1, 1 ≤ t ≤ T, 1 ≤ i ≤ n, a ∈ R .
可予測な
R
n-値確率過程の全体を P
nと表す．(ii) θ = (θ
0, θ
1, . . . , θ
d) = { θ
t= (θ
0t, θ
t1, . . . , θ
td) }
t∈T∈ P
d+1を投資戦略(strategy)
という．投資戦略の全体を
S
と表す．(iii) θ = { θ
t= (θ
0t, . . . , θ
dt) }
t∈T∈ S
に対し，V
t(θ) = θ
t· S
t=
∑
d i=0θ
itS
tiとおく．確率過程
{ V
t(θ) }
t∈Tを，投資戦略θ
の価値過程(value process)
という．Rem 2.2. (i) θ
tiは時刻t
における第i
証券S
iの所有高を表す．投資戦略は，市場モデル の次元(d + 1)
には依存するが，どのような証券価格過程S
を考えるかには依存してい ない．市場モデル
(Ω, F , P, T , F , S)
においては，投資家はS
i, 0 ≤ i ≤ d
の所有によってのみ 資産運用を行っていると仮定する．したがって，Vt(θ)
は時刻t
における投資家の資産 高を表す．とくに，V0(θ)
は投資家の初期資産高を表している．(ii)
時刻t
における所有高は，そのひとつ前の時刻t − 1
の市場の情報に基づいて決定され る．すなわち，加法族F
t−1にしたがって決定される．これが，θ∈ S
に可予測性を仮 定する理由である．2.2.
セルフファイナンシングDef 2.3. θ = { θ
t= (θ
t0, . . . , θ
td) } ∈ S
がセルフファイナンシング(self-financing)
であるとは，θ
t+1· S
t= θ
t· S
t, 0 ≤ t < T.
が成り立つことをいう．
セルフファイナンシングな
θ ∈ S
の全体をS
sfと表す．Rem 2.4.
時刻t
に，投資戦略θ
tにより，資産θ
t· S
t を得た投資者は，証券の所有高θ
tをθ
t+1に持ち替える．セルフファイナンシングは，資産の『流出入』を行わず，すべての資産 を再び投資することを意味している．Def 2.5. ∆S
t= S
t− S
t−1, 1 ≤ t ≤ T
，G
0(θ) = 0, G
t(θ) =
∑
t s=1θ
s· ∆S
s, 1 ≤ t ≤ T
とおく．{ G
t(θ) }
t∈Tを利得過程(gain process)
という．Prop 2.6. θ ∈ S
とする．以下は同値である．(i) θ
はセルフファイナンシングである．(ii) V
t(θ) = V
0(θ) + G
t(θ), t ∈ T
．(iii) ∆θ
t· S
t−1= 0, 1 ≤ t ≤ T .
Proof. ∆θ
tの定義より，θ
t· S
t−1− θ
t−1· S
t−1= ∆θ
t· S
t−1であるから，(i)と
(iii)
は同値である．つぎに，
V
t(θ) − V
t−1(θ) = θ
t· S
t− θ
t−1· S
t−1,
であるから，V
t(θ) − V
t−1(θ) = θ
t· ∆S
t+ θ
t· S
t−1− θ
t−1· S
t−1= G
t(θ) − G
t−1(θ) + θ
t· S
t−1− θ
t−1· S
t−1 となる．これより，(i)と(ii)
の同値性を得る．R -値確率過程 η = { η
t}
t∈TとR
n-値確率過程 X = { X
t= (X
t1, . . . , X
tn) }
t∈Tに対し，ηX= { η
tX
t}
t∈Tで，η
tX
t= (η
tX
t1, . . . , η
tX
tn), t ∈ T
なる
R
n-値確率過程を表す．
Prop 2.7.
適合な実数値確率過程ξ = { ξ
t}
t∈Tは，すべてのt ∈ T , ω ∈ Ω
に対し，ξt(ω) > 0
を満たすとする．市場モデルξS = { ξ
tS
t}
t∈Tに対するセルフファイナンシングな投資戦略の 全体をS
sf(ξ)
と書く．このとき，θ∈ S
がθ ∈ S
sfとなるための必要十分条件はθ ∈ S
sf(ξ)
となることである．Proof. Prop 2.6
により，θ ∈ S
sf⇐⇒
iff∆θ
t· S
t−1= 0, 1 ≤ t ≤ T ⇐⇒
iff∆θ
t· ξ
t−1S
t−1= 0, 1 ≤ t ≤ T ⇐⇒
iffθ ∈ S
sf(ξ).
Rem 2.8. ξS
は，証券1 ξ =
{ 1 ξ
t}
t∈T
を基本財として，割引率
ξ
により割り引かれた市場モ デルである．補題は，セルフファイナンシングという概念が割引率ξ，すなわち基本財に依
存しないことを述べている．Def 2.9. S = βS = { β
tS
t}
t∈Tとおき，割り引かれた市場モデル(discounted market model)
という．Prop 2.10. θ ∈ S
に対し，次は同値である．(i) θ ∈ S
sf.
(ii) θ
t+1· S
t= θ
t· S
t, 0 ≤ t < T .
(iii) V
t(θ) = V
0(θ) + G
t(θ), t ∈ T．ただし，
V
t(θ) = β
tV
t(θ), G
t(θ) =
∑
t s=1θ
s· ∆S
s と定義する．(iv) ∆θ
t· S
t−1= 0, 1 ≤ t ≤ T .
Proof. Prop 2.7
より，(i)と(ii)
の同値性を得る．Vt(θ) = θ
t· S
t となることに注意して，Prop 2.6
を市場モデルS
に適用すれば，(ii)∼ (iv)
の同値性を得る．この同値性を用いると，セルフファイナンシングとなる投資戦略を次のように構成できる．
Prop 2.11. (θ
1, . . . , θ
d) ∈ P
d，a∈ R
とする．このとき，θ0= { θ
t0}
t∈T∈ P
1が存在し，θ = (θ
0, θ
1, . . . , θ
d) = { θ
t= (θ
0t, θ
t1, . . . , θ
td) }
t∈T∈ S
sfであり，さらにV
0(θ) = a
となる．Proof. Prop 2.10
より，θ0をθ
t+1· S
t= θ
t· S
t, 0 ≤ t < T
を満たすように構成できればよい．S0t
= 1
に注意して，内積を成分表示すれば，これより，θ
t+10= θ
0t+
∑
d i=1θ
tiS
it−
∑
d i=1θ
it+1S
it, 0 ≤ t < T ( ∗ )
が得られる．すなわち，θt0が定まれば，この関係式により帰納的に
θ
0t+1が定まる．V
0(θ) = a
という条件を解けば，θ
00= a −
∑
d i=1θ
i0S
0iとなる．この
θ
00をもとに，(∗ )
により，求めるθ
0が構成できる．2.3.
裁定機会Def 2.12. (i) θ ∈ S
sfが許容投資戦略(admissible)
であるとは，V
t(θ) ≥ 0, t ∈ T
が成り立つことをいう．許容投資戦略の全体を
S
adと表す．(ii) θ ∈ S
adが，さらにV
0(θ) = 0, P(V
T(θ) > 0) > 0
を満たすとき，裁定機会
(arbitrage opportunity)
であるという．裁定機会の全体を
S
arbと表す．(iii)
裁定機会が存在しない，すなわち，S
arb= ∅
となるとき，市場モデルは無裁定(no
arbitrage)
であるという．Prop 2.13. (i) S
arb= ∅
とする．このとき，θ∈ S
adがV
0(θ) = 0
を満たせば，VT(θ) = 0
である．(ii) V
0(θ) = 0, V
T(θ) ≥ 0, P(V
T(θ) > 0) > 0
を満たすθ ∈ S
sfが存在すれば，Sarb6 = ∅，す
なわち裁定機会が存在する．(iii) V
T(θ) = V
T(φ)
かつP(V
t(θ) 6 = V
t(φ)) > 0 ( ∃ t ∈ T )
となるθ, φ ∈ S
sfが存在すれば，S
arb6 = ∅
，すなわち裁定機会が存在する．Proof. (i)
定義より明らかである．(ii) θ ∈ S
sfは，V0(θ) = 0, V
T(θ) ≥ 0, P(V
T(θ) > 0) > 0
を満たすと仮定する．P(V
t(θ) < 0) > 0
となるt ∈ T
が存在しなければ，Vt(θ) ≥ 0, t ∈ T
となり，θが裁定機会 となる．P(V
t(θ) < 0) > 0
となるt ∈ T
が存在すると仮定する．t
0= max { t | P(V
t(θ) < 0) > 0 }
とおく．仮定とt
0の定義より1 ≤ t
0< T, θ
t· S
t= V
t(θ) ≥ 0, t > t
0(2.1)
である．A = { ω | V
t0(θ)(ω) < 0 }
とおく．Rd+1
-値確率過程 φ = { φ
t= (φ
0t, . . . , φ
dt) }
t∈Tを，ω∈ Ω
に対し，
φ
0t(ω) =
{ 0, t ≤ t
0, 1
A(ω) { θ
0t(ω) − θ
t0(ω) · S
t0(ω) } , t
0< t ≤ T, φ
it(ω) =
{ 0, t ≤ t
0,
1
A(ω)θ
it(ω), t
0< t ≤ T, 1 ≤ i ≤ d
と定義する．ただし，1A
(ω) = 1 (ω ∈ A), = 0 (ω / ∈ A)
である．定義より明らかにφ
は可予 測であり，φ∈ S
である．定義より，
∆φ
t=
{ 0, t ≤ t
0, 1
A∆θ
t, t > t
0+ 1
となる．θ∈ S
sfであるから，t 6 = t
0+ 1 = ⇒ ∆φ
t· S
t−1= 0 (2.2)
となる．
∆φ
0t0+1
= φ
0t0+1
= 1
A{ θ
0t0+1
− θ
t0· S
t0} , ∆φ
it0+1
= φ
it0+1
= 1
Aθ
it0+1
であるから，再び
θ ∈ S
sfであることにより，∆φ
t0+1· S
t0= 1
A(
{ θ
0t0+1− θ
t0· S
t0} +
∑
d i=1θ
ti0+1S
it0)
= 1
A(
θ
t0+1· S
t0− θ
t0· S
t0)
= 0
となる．以上より，φ∈ S
sfとなる．t ≤ t
0ならば，Vt(φ) = 0
である．t > t0ならば，V
t(φ) = φ
t· S
t= 1
A(
{ θ
0t− θ
t0· S
t0} S
t0+
∑
d i=1θ
itS
ti)
= 1
A( θ
t· S
t− (θ
t0· S
t0)β
t0S
t0)
となる．(2.1)より，
θ
t· S
t≥ 0
である．さらに，定義より，ω∈ A
ならば，θt0(ω) · S
t0(ω) < 0
である．したがって，t0< t ≤ T
なるt
に対し，V
t(φ) ≥ 0, P(V
t(φ) > 0) ≥ P(A) > 0
となる．よって，φ
∈ S
adであり，このφ
が裁定機会となる．(iii) t
1= min { t ∈ T | P(V
t(θ) 6 = V
t(φ)) > 0 }
とおく．まず，t1
= 0
と仮定する．F
0= {∅ , Ω }
により，F
0-可測な V
0(θ − φ)
は定数である．これ を，v0とおけば，仮定よりv
0> 0
となる．定数投資戦略η ∈ S
sfをη
t0= v
0, η
ti= 0, t ∈ T , i = 1, . . . , d
と定める．ψ∈ S
sfをψ = φ − θ + η，すなわち
ψ
it= φ
it− θ
it+ η
it, t ∈ T , i = 0, . . . , d
と定義する．このとき，V
0(ψ) = V
0(φ − θ) + v
0= 0, V
T(ψ) = V
T(φ − θ) + V
T(η) = v
0S
T0> 0
となる．ψは(ii)
の条件を満たすから，S
arb6 = ∅
となる．つぎに，t1
> 0
とする．VT(θ) = V
T(φ)
なので，0< t
1< T
である．B = { ω ∈ Ω | V
t1(θ) > V
t1(φ) }
とおく．一般性を失うことなく，P(B)
> 0
としてよい．ψ= { ψ
t= (ψ
t0, . . . , ψ
dt) }
t∈T∈ S
を，ω∈ Ω
に対し，
ψ
0t(ω) =
{ θ
0t(ω) − φ
0t(ω), t ≤ t
1, 1
B(ω) { V
t1(θ)(ω) − V
t1(φ)(ω) } + 1
Bc(ω) { θ
0t(ω) − φ
0t(ω) } , t
1< t ≤ T, ψ
it(ω) =
{ θ
it(ω) − φ
it(ω), t ≤ t
1,
1
Bc(ω) { θ
it(ω) − φ
it(ω) } , t
1< t ≤ T, 1 ≤ i ≤ d
と定義する．∆ψ
t=
{ ∆θ
t− ∆φ
t, t ≤ t
1, 1
Bc{ ∆θ
t− ∆φ
t} , t > t
1+ 1,
であるから，t
6 = t
1+ 1
ならば∆ψ
t· S
t−1= 0
となる．さらに，∆ψ
t1+1· S
t1= (ψ
t01+1− ψ
t01)S
t01+
∑
d i=1(ψ
ti1+1− ψ
ti1)S
ti1= 1
B{ V
t1(θ) − V
t1(φ) } − 1
B{ θ
t1− φ
t1} · S
t1+ 1
Bc{ ∆θ
t1+1− ∆φ
t1+1} · S
t1= 0
となる．以上より，ψ
∈ S
sfを得る．ψ
の満期時の価値はV
T(ψ) = 1
B{ V
t1(θ) − V
t1(φ) } S
T0+ 1
Bc{ V
T(θ) − V
T(φ) }
= 1
B{ V
t1(θ) − V
t1(φ) } S
T0となるから，VT
(ψ) ≥ 0
であり，さらにP(V
T(ψ) > 0) > 0
となる．以上より，ψは
(ii)
の条件を満たす．よって，裁定機会が存在し，S
arb6 = ∅
である．2.4.
複製Def 2.14. (i) F : Ω → R
を金融派生商品(derivative)
という．(ii)
金融派生商品F
に対し，VT(θ) = F
を満たすθ ∈ S
sfを，F を複製(ヘッジ)
する(duplcating)
投資戦略という．Rem 2.15.
金融派生商品F
の売り手は，満期時T
にF
を支払う義務を負う．このため，投 資戦略θ
により資金運用をし，F
という資産を調達する．すなわち，F
を複製する(V
T(θ) = F
となる)投資戦略θ
による資金運用を行う．Prop 2.13(iii)
より，次の主張が従う．Prop 2.16. S
arb= ∅
とする．もし，θ, φ∈ S
sfが，ともに金融派生商品F
を複製すれば，V
t(θ) = V
t(φ), ∀ t ∈ T
となる．Rem 2.17. Prop 2.16
は「一物一価の原理」を意味している．とくに，θを金融派生商品F
を複製する投資戦略とすれば，無裁定な市場では，時刻
t
でのF
の価値はV
t(θ)
である という無裁定価格理論が成り立つ．3.
期待値と条件付き期待値Def 3.1 (期待値). (i)
確率変数X : Ω → R
の期待値E[X]
をE[X] =
∑
N α=1X(ω
α)p
αと定義する．ただし，Ω =
{ ω
1, . . . , ω
N} , p
α= P( { ω
α} )
である．(ii) A ∈ F
に対し，E[X; A] = E[X1
A]
とおく．Rem 3.2. { X(ω) | ω ∈ Ω } = { x
1< · · · < x
m}
とおけば，E[X] =
∑
m j=1x
jP( { X = x
j} ) (3.1)
とも表現できる．
Def 3.3.
確率変数X
1, X
2, . . . , X
nが独立であるとは，任意のx
1, . . . , x
n∈ R
に対し，P ( ∩
ni=1
{ X
i= x
i} )
=
∏
n i=1P (
{ X
i= x
i} )
が成り立つことをいう．Prop 3.4. X, Y
は確率変数，a, b∈ R
とする．(i) E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ].
(ii) X ≥ Y
ならば，E[X]≥ E[Y ].
(iii) p ≥ 1
に対し，E[X]
p≤ E[ | X |
p].
(iv) X, Y
が独立ならば，E[XY] = E[X]E[Y ].
Proof. (i)
定義より，E[aX + bY ] =
∑
N α=1(aX + bY )(ω
α)p
α=
∑
N α=1{ aX(ω
α) + bY (ω
α) } p
α= a
∑
N α=1X(ω
α)p
α+ b
∑
N α=1Y (ω
α)p
α= aE[X] + bE[Y ]
となる．(ii) X(ω
α) ≥ Y (ω
α) ( ∀ α)
であるから，定義より，E[X] =
∑
N α=1X(ω
α)p
α≥
∑
N α=1Y (ω
α)p
α= E[Y ]
となる．
(iii) x 7→ | x |
p凸であるから，∑
mk=1
λ
k= 1
なるλ
k≥ 0
とx
1, . . . , x
m∈ R
に対し，∑
mk=1
λ
kx
kp
≤
∑
m k=1λ
k| x
k|
p という関係式を満たす．∑
Nα=1
p
α= 1
であるから，m= N
，λk= p
k，xk= X(ω
k)
としてこ の関係式を適用すれば，| E[X] |
p= ∑
Nα=1
X(ω
α)p
αp
≤
∑
N α=1| X(ω
α) |
pp
α= E[ | X |
p]
となる．
(iv) { X(ω) | ω ∈ Ω } = { x
1< · · · < x
m} , { Y (ω) | ω ∈ Ω } = { y
1< · · · < y
n}
とおく．(3.1)に より，独立性と合わせてE[XY ] =
∑
m i=1∑
n j=1E[XY ; { X = x
i} ∩ { Y = y
j} ]
=
∑
m i=1∑
n j=1x
iy
jP( { X = x
i} ∩ { Y = y
j} )
=
∑
m i=1∑
n j=1x
iy
jP( { X = x
i} )P( { Y = y
j} )
= ( ∑
mi=1
x
iP( { X = x
i} )
)( ∑
n j=1y
jP( { Y = y
j} ) )
= E[X]E[Y ]
となる．条件付き期待値を次の命題を用いて定義する．
Prop 3.5. G ⊂ F
を加法族とし，Xを確率変数とする．次を満たすG -可測な (すなわち { Y ≤ a } ∈ G , ∀ a ∈ R
を満たす)Y: Ω → R
が唯一存在する．E[X; A] = E[Y ; A], ∀ A ∈ G . (3.2)
Def 3.6 (条件付き期待値).
上のY
をE[X | G ]
と書き，X のG
に関する条件付き期待値(conditional expectation)
という．証明のために補題を準備する．
Lemma 3.7. G ⊂ F
を加法族とする．(i)
次の性質を持つA
1, . . . , A
n6 = ∅ , ∈ G
が存在する:(a) A
1, . . . , A
nは互いに交わらない，すなわち，i6 = j
ならば，Ai∩ A
j= ∅
，(b) A ∈ G
ならば，1≤ i
1< · · · < i
m≤ n
が存在し，A= ∪
mk=1
A
ikと表現できる．(ii) A
1, . . . , A
n∈ G
を(i)
の通りとする．確率変数Y
がG -可測であるための必要十分条件
は，y1, . . . , y
n∈ R
が存在し，次が成り立つことである．Y =
∑
n i=1y
i1
Ai. (3.3)
Proof. (i) G \ {∅}
にA ⊂ B
という包含関係により順序を導入する．この順序に関する極 小元{ A
1, . . . , A
n}
が求める性質を持つ．(ii) Y
はG -可測であるとする．ω
ki∈ A
iを採り，yi= Y (ω
ki)
とおく．ωki∈ { Y = y
i} ∈ G
で あるから，(i)(b)より，Ai⊂ { Y = y
i}
となる．∪
ni=1
A
i= Ω
であり，A1, . . . , A
nが互いに排 反であるから，(3.3)が成り立つ．逆は，明らかである．Def 3.8.
上のA
1, . . . , A
nをG
の生成元と呼ぶ．Proof of Prop 3.5 A
1, . . . , A
nをG
の生成元とし，Y =
∑
n i=1E[X; A
i]
P(A
i) 1
Ai(3.4)
とおく．Y は
G -可測である．
A ∈ G
とする．Lem 3.7(i)(b)により，A= ∪
mk=1
A
ikと表すと，E[Y ; A] =
∑
n i=1∑
m k=1E[X; A
i]
P(A
i) E[1
Ai; A
ik] =
∑
m k=1E[X; A
ik]
P(A
ik) P(A
ik)
= E [
X ( ∑
mk=1
1
Aik)]
= E[X1
A] = E[X; A]
を得る．すなわち，(3.2)が成り立つ．
G -可測な Y
が(3.2)
を満たしたとする．Lem 3.7より，Y =
∑
n i=1y
i1
Aiと表現できる．(3.2)で，A
= A
iとすれば，E[X; A
i] = y
iP(A
i)
となる．これより，(3.4)の表示を得る．すなわち，一意性が示された．
この証明より，
E[X | G ] =
∑
n i=1E[X; A
i]
P(A
i) 1
Ai(3.5)
となる．
